第二节 数量积 向量积(可编辑)doc下载

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简介 数量积向量积一、数量积定义对于两个矢量a和b(把它们的模|a|,|b|及它们的夹角(的余弦的乘积称为矢量和的数量积(记作ab,即ab=|a||b|cos(由此定义和投影的关系可得ab(|b|P

数量积向量积一、数量积定义对于两个矢量a和b(把它们的模|a|,|b|及它们的夹角(的余弦的乘积称为矢量和的数量积(记作ab,即ab=|a||b|cos(由此定义和投影的关系可得ab(|b|Prjba=|a|Prjab数量积的性质(()amiddota(|a|,记amiddota(a则a(|a|()对于两个非零矢量a、b(如果amiddotb((则a(b反之(如果a(b(则amiddotb(如果认为零矢量与任何矢量都垂直(则a(b(amiddotb(定理数量积满足下面运算律:()交换律(amiddotb(bmiddota()分配律((a(b)(c(a(c(b(c(()((a)middotb(amiddot((b)(((amiddotb)(((a)middot((b)((((amiddotb)((、(为数(证()由定义知显然()的证明(因为当c(时(上式显然成立(当c(时(有(a(b)(c(|c|Prjc(a(b)(|c|(Prjca(Prjcb)(|c|Prjca(|c|Prjcb(a(c(b(c(()可类似地证明例试用矢量证明三角形的余弦定理(证设在DeltaABC中(angBCA((||=a(||=b(||=c(要证c(ab(abcos(记(a((b(=c(则有c(a(b(从而|c|(c(c((a(b)(a(b)(a(abb(|a||b|(|a||b|cos(a(^b)(即c(ab(abcos(数量积的坐标表示:定理设a({ax(ay(az}(b({bx(by(bz}(则amiddotb(axbx(ayby(azbz(证amiddotb((axi(ayj(azk)middot(bxi(byj(bzk)(axbximiddoti(axbyimiddotj(axbzimiddotk(aybxjmiddoti(aybyjmiddotj(aybzjmiddotk(azbxkmiddoti(azbykmiddotj(azbzkmiddotk(axbx(ayby(azbz(定理设a={},则矢量a的模|a|=证由定理知|a|=a=所以|a|=两矢量夹角的余弦的坐标表示(定理设(((a(^b)(则当a(、b(时(有证因为amiddotb(|a||b|cos(所以例已知三点M((()、A((()和B((()(求(AMB(解从M到A的向量记为a(从M到B的向量记为b(则(AMB就是向量a与b的夹角a({((}(b({((}(因为a(b((((((((((所以(从而矢量的方向角和方向余弦:矢量与坐标轴所成的角叫做矢量的方向角方向角的余弦叫矢量的方向余弦定理设a={}则a的方向余弦为cos=,cos,cos且其中分别是矢量a与x轴y轴,z轴的夹角证因为ai=|a|cos且ai=所以|a|cos=从而cos=同理可证coscos且显然二、向量积、定义:对向量若向量满足①的模之间夹角②的方向垂直于所决定的平面且的指向满足右手法则则称为的向量积记为即。 ①证:故②若证:、运算法则①反交换律②分配律③结合律、向量积的坐标表示设则记为证:注意到故注:即对应坐标成比例。

如某分母为零则认为该分子也为零。 例、设求与皆垂直的单位向量。

解:故所求为例、是否与平行。 解:故与平行。 例、已知空间三点的面积。 解:故unknownunknownunknownunknown。

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